Pergunta

Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em progressão aritmética, eles valem???

Respostas

Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em progressão aritmética, eles valem???



Respostas

1

Os comprimentos dos lados de um paralelogramo são 3 cm, 5 cm e 7 cm.
Sabemos que as dimensões de um paralelogramo formam uma série paralela e que r é a razão da série.
x – y, x, x + y
Seis lados de um paralelogramo são de área igual, e se as dimensões são x – r, x e x + r, então a área total é

At = 2x(x-r) + 2(x-r)(x+r) + 2x(x+r)

142 = 2(x(x-r) + (x-r)(x+r) + x(x+r))

142 = 2(x² – xr + x² – r² + x² + xr)

142 = 2(3x²- r²)

A soma das arestas vale 60, ou seja:

60 = 4(x-r) + 4x + 4(x+r)

60 = 4(x – r + x + x + r)

15 = 3x

x = 5 cm

Substituindo na equação da área:

142 = 2(3x²- r²)

71 = 3.5² – r²

r² = 75 – 71

r² = 4

r = 2

Os lados do paralelepípedo são:

x – r = 3 cm

x = 5 cm

x + r = 7 cm

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2
Seja r a razão se a aresta estiver em PA.
Então podemos escrever os valores dessas arestas como x – r, x e x + r.
 
Cada escala tem 4 arestas e sua soma vai até 60, então podemos escrever
4(xy) + 4x + 4(x + y) = 60
Desenvolvimento e Fabricação:
4x-4r + 4x + 4x + 4r = 60
Depois de remover as posições 4r e -4r, o que resta
12x = 60 onde x = 5 (Esta é a medida da borda do meio.
Agora vamos calcular a soma de todos os seis lados. Ambos são iguais, então podemos escrever:
2 x (x y) + 2 x (x + y) + 2 (xy) (x + y) = 142
Mas para x = 5 já sabemos, então a expressão anterior é:
 
10 (5-r) +10 (5 + r) +2. (25-r^2) = 142
Desenvolvido e simplificado:
150-2r^2 = 142
2p^2 = 150-142
2p^2 = 8
R^2 = 4
y = 2
 
Portanto, as medidas das arestas unitárias são 3, 5 e 7.
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