Em uma reunião social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas havia na reunião?

Respostas

1.

Dez pessoas participaram da reunião.

Primeiro, observe que se A parabeniza B, então B também parabeniza A.

A ordem não importa. É por isso que usamos a fórmula composta.

A fórmula combinada é definida como

.

Vamos considerar que o número de pessoas na reunião é igual a n.

Como precisamos de duas pessoas para um cumprimento, então k = 2.

Além disso, temos a informação de que houve 45 apertos de mão no total. Isso significa que C(n,2) = 45.

Utilizando a fórmula acima, obtemos:

45.2 = n(n – 1)

n² – n – 90 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-1)² – 4.1.(-90)

Δ = 1 + 360

Δ = 361

.

Como n não pode ser um número negativo, podemos concluir que o número de pessoas na reunião é igual a 10.

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2.

C = p(p+1)/2 – p
45 = (p²+p)/2 – p
2.(45) = p² + p – p.(2)
90 = p² + p – 2p
90 = p² – p
p² – p – 90 = 0
Delta=361
p’=10
p”=-9

p”=-9 não satisfaz a condição p ∈ N*.
Logo utilizamos p’=10. Portanto haviam 10 pessoas na reunião.

Renato.